1.1 IT-Zahlensysteme

Die derzeitige Informationstechnik arbeitet mit Datenleitungen und Speichern, die nur zwei Zustände kennen:

0 und 1 -Binär.

Das Bit ist die kleinste Datenspeichereinheit und kann die Werte 0 oder 1 speichern, ein binärer Speicher.
Wenn ich mehr als 2 Werte speichern will muss ich mehr Bits kombinieren. Bsp. 2 Bits:

Kombination	Bit1	Bit0
00	0	0
01	0	1
10	1	0
11	1	1

Kombinationen bei 2 Bits

Jedes weitere Bit verdoppelt die Anzahl der Kombinationen: Schreibe alle Kombinationen mit n Bits auf und schreibe überall links eine 0 davor, dann schreibe alle Kombinationen mit n Bit und einer 1 davor darunter:

Die Anzahl der möglichen Kombinationen mit n Bits lässt sich leicht berechnen: 2ⁿ

Wie viele Kombinationen gibt es mit 4 Bits, schreibe alle auf. Wie viele Bits braucht es für 16, 32, .. Werte?

Kombination	Bit2	Bit1	Bit0
000	0	0	0
001	0	0	1
010	0	1	0
011	0	1	1
100	1	0	0
101	1	0	1
110	1	1	0
111	1	1	1

Kombinationen bei 3 Bits

Bits	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
# Werte	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536

Auswendig können: Bits und Anzahl Werte

Binäre Kodierung von Information

Nun haben wir also Bits als Datenspeicher und können Kombinationen aufschreiben. Aber welche Bedeutung haben diese Kombinationen. Bsp. Die Werte 0..3 sollen binär gespeichert werden… Möglichkeiten…

Stellenwertsystem, Dualzahlen, Umrechnen siehe https://mezdata.de/ti-basis/010_zahlensysteme/index.php

Achtung Verwirrung: Binärzahl meint einfach die Darstellung von Information mit 0en und 1en. Dualzahl ist die Kodierung mit dem Stellenwertsystem eines Dezimalwertes in eine Binärzahl, also eine spezielle von vielen möglichen Kodierungen. Es gibt noch andere technisch praktische Kodierungen von Dezimalwerten zu Binärzahlen, z.B. der Gray-Code.

Welchen Wert hat die Größte-Dual-Zahl (GDZ) mit n Bit?

Bits	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
GDZ Dual	0b1	0b11	0b111	0b1111	0b11111	0b111111	0b1111111	0b11111111	9 1en	10 1en	11 1en	12 1en
GDZ Dez	1	3	7	15	31	63	127	255	511	1023	2047	4095
GDZ Hex	0x1	0x3	0x7	0xF	0x1F	0x3F	0x7F	0xFF	0x1FF	0x3FF	0x7FF	0xFFF

Auswendig können. Bits und grösste Dualzahl

Besser lesbar durch Hexadezimalsystem

Viele 0en und 1en hintereinander sind schlecht lesbar, deshalb werden gerne 4 Bit zu einer Hexadezimal-Ziffer zusammen gefasst. Da 4 Bit die 16 (Hexadezimal) Werte von 0..15 haben können sind für die Werte 10..15 weitere Ziffern notwendig, deshalb werden schlicht die Buchstaben A..F dafür verwendet.

Wert	1	2	..	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Dual	0b0001	0b0010	..	0b1000	0b1001	0b1010	0b1011	0b1100	0b1101	0b1110	0b1111	0b10000
Hex	0x1	0x2	..	0x8	0x9	0xA	0xB	0xC	0xD	0xE	0xF	0x10

Auswendig können: Dual- und Hex-Werte

4 Bit sind ein Nibble, 8 Bit sind ein Byte. 16 bzw. 32 Bit werden als Wort , 32 bzw. 64 Bit als Doppelwort bezeichnet. Siehe Wikipedia [Datenwort]. Umwandeln von Bin<->Hex, Dez<->Hex siehe https://mezdata.de/ti-basis/010_zahlensysteme/index.php

Einheiten KiB, MiB…

Sollen grössere Mengen von Bytes gut lesbar angegeben werden bieten sich Abkürzungen wie Kilo und Mega usw. an. Z.B. 1000 Byte = 1 kB (Kilobyte). Allerdings wird bei Speicherbausteinen nicht das Dezimal- sondern das Binärsystem verwendet, daher bekommt man eher 1024 Byte und nicht 1000 Byte. Dies führte zu Verwirrung:
[Wikipedia: Bedeutungen von Dezimal- und Binärpräfixen für große Anzahlen von Bytes]
Daher wurde für Anwendungen mit binär adressierten Speichern Binäreinheiten eingeführt Ki = 1024 statt k = 1000, das B wird oft weggelassen also Ki statt KiB, Mi statt MiB.
Hinweis: Das Wort oder der Begriff Anzahl oder Nummer wird oft mit # verkürzt: Anzahl Bits -> # Bits

# Bits zur Kodierung der Anzahl	10	20	30	40	50	60	70
Wert	2¹⁰ = 1024	2²⁰ = 1024²	2³⁰ = 1024³	2⁴⁰	2⁵⁰	2⁶⁰	2⁷⁰
Bezeichnung	Ki	Mi	Gi	Ti	Pi	Ei	Zi

Auswendig können: Bezeichnung grosser Wertebereiche

Praktischer Nutzen, typische Beispiele:
Wie viele Werte können mit 16 Bit kodiert werden? 2¹⁶ = 2⁶ * 2¹⁰ = 64 Ki Werte
Wie viele Farben können mit 3 Byte kodiert werden? 3*8=24; 2²⁴ = 2⁴ * 2²⁰ = 16 Mi Farben: ca. 16 Millionen Farben

ToDo: Negative Zahlen, Rechnen,

Auf meiner “alten” Seite: https://mezdata.de/ti-basis/010_zahlensysteme/index.php

Spiel zum Üben: https://games.penjee.com/binary-numbers-game/

Arbeitsblatt zum Üben

Ti-1121-Zahlensysteme.ods.pdf Herunterladen

Hier die Tabellenkalkulation um ein Arbeitsblatt zu erstellen, die Werte werden durch Zufall erzeugt.

Ti-1121-Zahlensysteme.ods Herunterladen

Alles verstanden?

Da fehlen noch nette Bilder zu den Aufgaben 😍, mir schicken..

Negative Zahlen

MezMedia: Datendarstellung in Digitalen Systemen
Wikipedia: Zweierkomplement

Übung: 8-Bit Zahlen mit Vorzeichen (signed byte)

Dezimal	Dualzahl	Hexadezimal
-1	0b11111111	0xFF
127	0b01111111	0x7F
-128	0b10000000	0x80
		0x81
-2
		0xAA

Binärdarstellung 8 Bit Zahlen mit Vorzeichen

Lösung

Dezimal	Dualzahl	Hexadezimal
-127	0b1000 0001	0x81
-2	0b1111 1110	0xFE
-86	0x1010 1010	0xAA