1.1 IT-Zahlensysteme

Die derzeitige Informationstechnik arbeitet mit Datenleitungen und Speichern, die nur zwei Zustände kennen:

0 und 1 -Binär.

Das Bit ist die kleinste Datenspeichereinheit und kann die Werte 0 oder 1 speichern, ein binärer Speicher.
Wenn ich mehr als 2 Werte speichern will muss ich mehr Bits kombinieren. Bsp. 2 Bits:

KombinationBit1Bit0
0000
0101
1010
1111
Kombinationen bei 2 Bits

Jedes weitere Bit verdoppelt die Anzahl der Kombinationen: Schreibe alle Kombinationen mit n Bits auf und schreibe überall links eine 0 davor, dann schreibe alle Kombinationen mit n Bit und einer 1 davor darunter:

Die Anzahl der möglichen Kombinationen mit n Bits lässt sich leicht berechnen: 2n


Wie viele Kombinationen gibt es mit 4 Bits, schreibe alle auf. Wie viele Bits braucht es für 16, 32, .. Werte?

KombinationBit2Bit1Bit0
000000
001001
010010
011011
100100
101101
110110
111111
Kombinationen bei 3 Bits
Bits1 2345678910111213141516
# Werte2481632641282565121024204840968192163843276865536
Auswendig können: Bits und Anzahl Werte

Binäre Kodierung von Information

Nun haben wir also Bits als Datenspeicher und können Kombinationen aufschreiben. Aber welche Bedeutung haben diese Kombinationen. Bsp. Die Werte 0..3 sollen binär gespeichert werden… Möglichkeiten…

Stellenwertsystem, Dualzahlen, Umrechnen siehe https://mezdata.de/ti-basis/010_zahlensysteme/index.php

Achtung Verwirrung: Binärzahl meint einfach die Darstellung von Information mit 0en und 1en. Dualzahl ist die Kodierung mit dem Stellenwertsystem eines Dezimalwertes in eine Binärzahl, also eine spezielle von vielen möglichen Kodierungen. Es gibt noch andere technisch praktische Kodierungen von Dezimalwerten zu Binärzahlen, z.B. der Gray-Code.

Welchen Wert hat die Größte-Dual-Zahl (GDZ) mit n Bit?

Bits1 23456789101112
GDZ
Dual
0b10b110b1110b11110b111110b1111110b11111110b111111119 1en10 1en11 1en12 1en
GDZ
Dez
137153163127255511102320474095
GDZ
Hex
0x10x30x70xF0x1F0x3F0x7F0xFF0x1FF0x3FF0x7FF0xFFF
Auswendig können. Bits und grösste Dualzahl

Besser lesbar durch Hexadezimalsystem

Viele 0en und 1en hintereinander sind schlecht lesbar, deshalb werden gerne 4 Bit zu einer Hexadezimal-Ziffer zusammen gefasst. Da 4 Bit die 16 (Hexadezimal) Werte von 0..15 haben können sind für die Werte 10..15 weitere Ziffern notwendig, deshalb werden schlicht die Buchstaben A..F dafür verwendet.

Wert1 2..8910111213141516
Dual0b00010b0010..0b10000b10010b10100b10110b11000b11010b11100b11110b10000
Hex0x10x2..0x80x90xA0xB0xC0xD0xE0xF0x10
Auswendig können: Dual- und Hex-Werte

4 Bit sind ein Nibble, 8 Bit sind ein Byte. 16 bzw. 32 Bit werden als Wort , 32 bzw. 64 Bit als Doppelwort bezeichnet. Siehe Wikipedia [Datenwort]. Umwandeln von Bin<->Hex, Dez<->Hex siehe https://mezdata.de/ti-basis/010_zahlensysteme/index.php

Einheiten KiB, MiB…

Sollen grössere Mengen von Bytes gut lesbar angegeben werden bieten sich Abkürzungen wie Kilo und Mega usw. an. Z.B. 1000 Byte = 1 kB (Kilobyte). Allerdings wird bei Speicherbausteinen nicht das Dezimal- sondern das Binärsystem verwendet, daher bekommt man eher 1024 Byte und nicht 1000 Byte. Dies führte zu Verwirrung:
[Wikipedia: Bedeutungen von Dezimal- und Binärpräfixen für große Anzahlen von Bytes]
Daher wurde für Anwendungen mit binär adressierten Speichern Binäreinheiten eingeführt Ki = 1024 statt k = 1000, das B wird oft weggelassen also Ki statt KiB, Mi statt MiB.
Hinweis: Das Wort oder der Begriff Anzahl oder Nummer wird oft mit # verkürzt: Anzahl Bits -> # Bits

# Bits zur Kodierung der Anzahl10203040506070
Wert210 = 1024220 = 10242230 = 10243240250260270
BezeichnungKiMiGiTiPiEiZi
Auswendig können: Bezeichnung grosser Wertebereiche

Praktischer Nutzen, typische Beispiele:
Wie viele Werte können mit 16 Bit kodiert werden? 216 = 26 * 210 = 64 Ki Werte
Wie viele Farben können mit 3 Byte kodiert werden? 3*8=24; 224 = 24 * 220 = 16 Mi Farben: ca. 16 Millionen Farben

ToDo: Negative Zahlen, Rechnen,

Auf meiner “alten” Seite: https://mezdata.de/ti-basis/010_zahlensysteme/index.php

Spiel zum Üben: https://games.penjee.com/binary-numbers-game/

Arbeitsblatt zum Üben

Hier die Tabellenkalkulation um ein Arbeitsblatt zu erstellen, die Werte werden durch Zufall erzeugt.

Alles verstanden?

Da fehlen noch nette Bilder zu den Aufgaben 😍, mir schicken..